之前的一篇随笔(二叉树、前序遍历、中序遍历、后序遍历)只对二叉树的遍历进行了笼统的描述,这篇随笔重点对前、中、后序的遍历顺序进行分析

二叉树的遍历

二叉树的深度优先遍历可细分为前序遍历、中序遍历、后序遍历,这三种遍历可以用递归实现(本篇随笔主要分析递归实现),也可使用非递归实现的

前序遍历:根节点->左子树->右子树(根->左->右)

中序遍历:左子树->根节点->右子树(左->根->右)

后序遍历:左子树->右子树->根节点(左->右->根)

在进行已知两种遍历顺序求另一种遍历顺序前,先看一下不同遍历顺序对应的代码

前序遍历

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
 1 /* 以递归方式 前序遍历二叉树 */
2 void PreOrderTraverse(BiTree t, int level)
3 {
4 if (t == NULL)
5 {
6 return ;
7 }
8 printf("data = %c level = %d\n ", t->data, level);
9 PreOrderTraverse(t->lchild, level + 1);
10 PreOrderTraverse(t->rchild, level + 1);
11 }

中序遍历

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
 1 /* 以递归方式 中序遍历二叉树 */
2 void PreOrderTraverse(BiTree t, int level)
3 {
4 if (t == NULL)
5 {
6 return ;
7 }
8 PreOrderTraverse(t->lchild, level + 1);
9 printf("data = %c level = %d\n ", t->data, level);
10 PreOrderTraverse(t->rchild, level + 1);
11 }

后序遍历

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
 1 /* 以递归方式 后序遍历二叉树 */
2 void PreOrderTraverse(BiTree t, int level)
3 {
4 if (t == NULL)
5 {
6 return ;
7 }
8 PreOrderTraverse(t->lchild, level + 1);
9 PreOrderTraverse(t->rchild, level + 1);
10 printf("data = %c level = %d\n ", t->data, level);
11 }

三种遍历方式对应的代码几乎相同,只是一条语句的位置发生了变化

1
printf("data = %c level = %d\n ", t->data, level);

只看文字和代码来理解遍历的过程是比较困难的,建议读者亲自去遍历,为了理清遍历的过程下面上题

(图片来源:https://www.cnblogs.com/xinchrome/p/4905608.html)

前序遍历

前序的遍历的特点,根节点->左子树->右子树,注意看前序的遍历的代码printf语句是放在两条递归语句之前的,所以先访问根节点G,打印G,然后访问左子树D,此时左子树D又作为根节点,打印D,再访问D的左子树A

A又作为根节点,打印A,A没有左子树或者右子树,函数调用结束返回到D节点(此时已经打印出来的有:GDA)D节点的左子树已经递归完成,现在递归访问右子树F,F作为根节点,打印F,F有左子树访问左子树E,E作为

根节点,打印E,(此时已经打印出来的有:GDAFE),E没有左子树和右子树,函数递归结束返回F节点,F的左子树已经递归完成了,但没有右子树,所以函数递归结束,返回D节点,D节点的左子树和右子树递归全部完成,

函数递归结束返回G节点,访问G节点的右子树M,M作为根节点,打印M,访问M的左子树H,H作为根节点,打印H,(此时已经打印出来的有:GDAFEMH)H没有左子树和右子树,函数递归结束,返回M节点,M节点的左子树已经

递归完成,访问右子树Z,Z作为根节点,打印Z,Z没有左子树和右子树,函数递归结束,返回M节点,M节点的左子树右子树递归全部完成,函数递归结束,返回G节点,G节点的左右子树递归全部完成,整个二叉树的遍历就结束了

(MGJ,终于打完了··)

前序遍历结果:GDAFEMHZ

总结一下前序遍历步骤

第一步:打印该节点(再三考虑还是把访问根节点这句话去掉了)

第二步:访问左子树,返回到第一步(注意:返回到第一步的意思是将根节点的左子树作为新的根节点,就好比图中D是G的左子树但是D也是A节点和F节点的根节点)

第三步:访问右子树,返回到第一步

第四步:结束递归,返回到上一个节点

前序遍历的另一种表述:

(1)访问根节点

(2)前序遍历左子树

(3)前序遍历右子树

(在完成第2,3步的时候,也是要按照前序遍历二叉树的规则完成)

前序遍历结果:GDAFEMHZ

中序遍历(详细遍历过程就不再赘述了,(┬_┬))

中序遍历步骤

第一步:访问该节点左子树

第二步:若该节点有左子树,则返回第一步,否则打印该节点

第三步:若该节点有右子树,则返回第一步,否则结束递归并返回上一节点

(按我自己理解的中序就是:先左到底,左到不能在左了就停下来并打印该节点,然后返回到该节点的上一节点,并打印该节点,然后再访问该节点的右子树,再左到不能再左了就停下来)

中序遍历的另一种表述:

(1)中序遍历左子树

(2)访问根节点

(3)中序遍历右子树

(在完成第1,3步的时候,要按照中序遍历的规则来完成)

所以该图的中序遍历为:ADEFGHMZ

后序遍历步骤

第一步:访问左子树

第二步:若该节点有左子树,返回第一步

第三步:若该节点有右子树,返回第一步,否则打印该节点并返回上一节点

后序遍历的另一种表述:

(1)后序遍历左子树

(2)后序遍历右子树

(3)访问根节点

(在完成1,2步的时候,依然要按照后序遍历的规则来完成)

该图的后序遍历为:AEFDHZMG

(读者如果在纸上遍历二叉树的时候,仍然容易将顺序搞错建议再回去看一下三种不同遍历对应的代码)

重构二叉树

第一种:已知前序遍历、中序遍历求后序遍历

前序遍历:ABCDEF

中序遍历:CBDAEF

在进行分析前读者需要知道不同遍历结果的特点

1、前序遍历的第一元素是整个二叉树的根节点

2、中序遍历中根节点的左边的元素是左子树,根节点右边的元素是右子树

3、后序遍历的最后一个元素是整个二叉树的根节点

(如果读者不明白上述三个特点,建议再回去看一下三种不同遍历对应的代码,并在纸上写出一个简单的二叉树的三种不同的遍历结果,以加深对三种不同遍历的理解)

用上面这些特点来分析遍历结果,

第一步:先看前序遍历A肯定是根节点

第二步:确认了根节点,再来看中序遍历,中序遍历中根节点A的左边是CBD,右边是EF,所有可以确定二叉树既有左子树又有右子树

第三步:先来分析左子树CBD,那么CBD谁来做A的左子树呢?这个时候不能直接用中序遍历的特点(左->根->右)得出左子树应该是这个样子

因为有两种情况都满足中序遍历为CBD无法直接根据中序遍历来直接得出左子树的结构,这个时候就要返回到前序遍历中去

观察前序遍历ABCDEF,左子树CBD在前序遍历中的顺序是BCD,意味着B是左子树的根节点(这么说可能不太好理解,换个说法就是B是A的左子树),得出这个结果是因为如果一个二叉树的根节点有左子树,那么

这个左子树一定在前序遍历中一定紧跟着根节点(这个是用前序遍历的特点(根->左->右)得出的),到这里就可以确认B是左子树的根节点

第四步:再观察中序遍历CBDAEF,B元素左边是C右边是D,说明B节点既有左子树又有右子树,左右子树只有一个元素就可以直接确定了,不用再返回去观察前序遍历

第五步:到这里左子树的重建就已经完成了,现在重建右子树,因为重建右子树的过程和左子树的过程一模一样,步骤就不像上面写这么细了((┬_┬)),观察中序遍历右子树为EF,再观察前序遍历ABCDEF中右子树

的顺序为EF,所以E为A的右子树,再观察中序便利中E只有右边有F,所有F为E的右子树,最后得到的二叉树是这个样子的

所有求得的后序遍历为:CDBFEA

总结一下上述步骤: 先观察前序遍历找到根节点->观察中序遍历将根节点左边归为左子树元素,右边归为右子树元素(可能会出现只有左子树或者右子树的情况)->观察前序遍历中左\右子树几个元素的顺序,最靠前的为左\右子树的根节点->重复前面的步骤

第二种:已知中序遍历、后序遍历求前序遍历(题还是上面这道)

中序遍历:CBDAEF

后序遍历为:CDBFEA

仍然是根据不同遍历方式结果的特点来重构二叉树,过程很相似这里就不详细说了,后序遍历的最后一个元素A是根节点,在中序遍历中以根节点A作为分界将元素分为左子树(CBD)和右子树(EF),再观察后序遍历中左子树的顺序是CDB

,可以判断出B是左子树的根节点(因为后序遍历是:左->右->根),再观察中序遍历,B元素左边是C右边是D,说明B节点既有左子树又有右子树,左右子树只有一个元素就可以直接确定了,不用再返回去观察后序遍历,左子树重建完成,

现在来看右子树,右子树有两个元素EF,观察后序遍历E在F的后面,所以E是右子树的根节点,然后看中序遍历中E只有右边一个F元素了,即F是E的右子树,此时整个二叉树重构完成

总结一下上述步骤:先观察后序遍历找到根节点->观察中序遍历将根节点左边归为左子树元素,右边归为右子树元素(可能会出现只有左子树或者右子树的情况)->观察后序遍历中左\右子树几个元素的顺序,最靠后的为左\右子树的根节点->重复前面的步骤

注意

已知前序遍历、后序遍历无法求出中序遍历(因为由前序后序重构出来的二叉树不止一种)

举个栗子左图这两种二叉树前序(BEFA)和后序(AFEB)一样,但对应的中序遍历结果不一样(左边的是AFEB右边的是BEFA),所以仅靠前序后序是无法重构出唯一的二叉树